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  • 费马宣称自己证明了但在书边写不下证明过程的那个猜想,后来变成了费马大定理。三百多年来,费马大定理的证明吸引了大批数学家前仆后继,也产生了诸多无心插柳式的成果。如今,费马大定理算是得到了证明,但也许我们还是可以期待费马曾以为得到过的那种简明的证明。

    撰文 | 曹则贤(中国科学院物理研究所研究员)

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    费马这个人

    法国人费马是科学史上的传奇人物,职业是个律师,但为世人所熟知的却是他的数学研究。对学物理的人来说,费马的名字是与光学中的费马原理联系在一起的:“光在两点间的传播所走的路径使得用时最短。”这是物理学中最小作用量原理 (least action principle,最少动作原理) 发展过程中的关键一环。作为一个业余数学家,费马是微分求极值技术的先驱,还研究过数论、解析几何和概率论等学问。费马能熟读希腊文,通晓希腊古典典籍。有人评论说费马的数学基础就是希腊典籍加上韦达的新代数方法。

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    费马大定理

    亚历山大的丢番图是位数学家,有代数学之父的美誉,编著有名为Arithmetica (算术)的丛书。《算术》丛书大部分已遗失。丢番图在《算术》丛书中考虑了许多不同形式的代数方程,其中之一是形为 xn+yn=zn 的方程,其中x, y, z和n都是正整数。对于n=1,方程 x+y=z 就是自然数的加法,有无穷多组解。对于n=2,方程 x2+y2=z2 有人们所熟知的毕达哥拉斯数组, 如 (3,4,5),  (5, 12, 13), (9, 40,41), (11, 60,6 1), (13, 84, 85) , (17, 144,145), (19, 180,181) 等等,也有无穷多组解。如果把n扩展到负整数,对于 n=-1,方程变为 x-1+y-1=z-1 (optic equation),三数组 (6, 3, 2) 显然是方程的解。给定三个整数 m, n, k, 令 x=km(m+n),y=kn(m+n),z=kmn,就能得到一个三数组满足 x-1+y-1=z-1 ,比如 (15,10, 6), (28, 21, 12) 等。n=-2 时,方程变为 x-2+y-2=z-2 ,任意三数组 a=(u2-v2)(u2+v2) ,b=2uv(u2+v2) ,c=2uv(u2-v2) ,其中u, v是互质的整数,满足这个方程,也有无穷多种可能。

    费马在阅读丢番图的《算术》一书的拉丁文译本时,认真地研究过这些丢番图方程。1637年,费马曾在第11卷第8命题旁写下了一段话:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。拉丁文原文不长,照录于此:“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.” 这意思是说,费马猜测方程 xn+yn=z对于n>2 没有解,这就是所谓的费马猜想或者费马大定理[1]。有趣的是,费马写下这句话后直到28年后去世,并没有发表他宣称的证法。1667年,费马的儿子在他遗留的书本里翻到了这一句话并将之公诸于世,1670年再版《算术》一书就把费马的评论收录进去了 (图1) 。费马的评论或者猜想慢慢地也就变成了费马大定理。

    图1. 法国1670年再版的丢番图《算术》一书中含费马评论的一页
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    费马大定理的证明

    费马大定理吸引了无数数学爱好者。然而,自1667年算起到20世纪90年代的三百余年间,没有数学家成功证明过这个猜想,以至于这个猜想被评为最困难的数学问题 (当然是指人人能看得懂的那类问题) 。渐渐地,人们甚至从怀疑到底费马是否曾得到过这个猜想的简洁证明到怀疑这个猜想到底是否有简洁证明。在对费马的怀疑声中,有观点认为他这么写时是确切知道自己并没有证明的,至于动机就不好说了。费马的这个行为甚至有人模仿, 后世的英国数学家哈代给丹麦数学家玻尔的明信片上就写着:“我已证明了黎曼猜想。”他的想法是,如果不幸遇到海难了,人们会从明信片内容相信他证明了黎曼猜想。即便将来黎曼猜想被别人证明出来了,也会有人认为是他首先证明了黎曼猜想。你现在在看这段文字,就表明哈代当初的策略成功了。

    对费马大定理的证明刺激了19世纪分析数论的发展和20 世纪模形式定理的证明,也不枉了对费马大定理的证明所投入的努力,说它是会下金蛋的鸭子估计说得过去。虽然对于一般情形没有证明,但是期间出现了许多针对特定 n 值的证明。费马自己就证明了n=4 的情形方程无解。对于n=4,方程 x4+y4=z, 进一步可以改写为 x4+y4=(z2)。而由边为整数的直角三角形的面积不可能是整数的平方这一事实, 可以导出 x4+y4=w无(x, y)成对互质的解。或者,若假设有 (x1, y1, z1) 是 x4+y4=z的解,则一定存在一组更小的解(x2, y2, z2) ,这个序列可以一直继续下去。但这是不可能的,因为要求为整数,数组 (x, y, z) 作为解必须有最小的可能。这证明了 n=4 时方程无解。对于n=4,还有许多不同的证明,证明者包括欧拉、勒让德、勒贝格 (Victor-Amédée Lebesgue,1791-1875)、克罗内克等大数学家。

    关于 n=5,成功证明的数学家包括欧拉、勒让德、勒贝格、狄里希利等人。勒贝格关于 n=5 和 n=7 的证明见于论文Théorèmes nouveaux sur l'équation indéterminée  x5+y5=az5 (关于不定方程 x5+y5=az5 的新定理) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 8,  49–70 (1843)和Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation  x7+y7=z en nombres entiers (关于方程

    x7+y7+z7=0 不存在整数解的证明),Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5, 276–279 & 348–349 (1840) ,有兴趣的读者可以找来练练手。不过,我估计不太容易看懂。以 n=5 的解法之一为例,让我们感受一下证明的难度。假设 x5+y5=z有整数解,显然可以认为 xyz≠0 , 且 gcd(x, y, z)=1 ,意思是这三个数最大公因子为1,它们是互质的。当然,由于奇数的整数幂必是奇数,偶数的整数幂必是偶数,两个奇数之和与之差皆为偶数, 故可以认定 x, y 是奇数而 z 是偶数。从索菲的证明我们可以假设xyz是5的倍数——法国女数学家索菲·热尔曼 (Sophie Germain,1776-1831)已证明了若 n≥3 且 2n+1 是素数,n 必能整除xyz。若5能整除xyz,有两种可能,5能整除z和5不能整除z。若5能整除z且z 还是偶数,则z一般地可表达为 z=2m5kz' 的形式。如果5不能整除z, 那可以假设它整除奇数x,可令 x=5kx' 。从这儿出发,最终都能推导出矛盾来。由于过程太长,此处不给具体的细节了,有兴趣的读者请参考文后的推荐阅读。无意深入的读者请记住,一项伟大事业的每一步可能都是艰难的。

    1994年英国数学家怀尔斯 (Andrew Wiles,1953-) 宣称证明了费马大定理。怀尔斯提交了两篇论文,Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (模形式椭圆曲线与费马大定理) 以及Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (某些Hecke 代数的环论性质),其中第二篇有一个合作者。这两篇文章1995年作为数学年鉴杂志的一整期发表出来,不知道几人能读懂。笔者读不懂,也就不试图介绍了。

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    多余的话

    有读者肯定会有疑问,你既然也读不懂(实际上是没读过)怀尔斯关于费马大定理的证明,为什么要写下这个短篇?本篇并没有提供任何有趣的、有意义的证明。Let me tell you. 我写下这篇,是因为我对于那种动辄篇幅长达两三百页、满页非人类语言、甚至还动用计算机的数学证明,从心里不是太能够接受。这或许是由面对那些数学内容而我却无力理解所带来的挫折感所致。就费马大定理这个特定问题而言,我倾向于相信它有个简洁的证明,或者说我就是希望它有个简洁的证明,那种有美感 (aesthetic appeal) 的证明。那些费马大定理在具体某个n的情形下成立的证明之令人毛骨悚然的复杂,不是排除存在简洁证法的理由。证明的缺失可能是因为对问题在更高层面上理解的缺失。

    为了那个简洁的证明,我想一定还有数学家在努力着,而我也愿意等。

    注释

    [1] 汉语一般称为费马大定理, 但英文的Fermat’s last theorem和法文的le dernier théorème de Fermat 一样,应该翻译成费马最后定理。法语也称 grand théorème de Fermat,这才是费马大定理。费马于1640年还提出了费马小定理,Fermat’s little theorem, le petit théorème de Fermat。这种叫法只是为了和前述定理区分,两者没有比较意义的大小之分。
    建议阅读

    1. Ian Stewart, David Tall,Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem,4th edition, CRC (2015).

    2. Nigel Boston, The Proof of Fermat's Last Theorem, Springer (2003).

    3. Harold M. Edward,Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to algebraic number theory, 3rd edition, Springer (2000).

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